Как решать уравнения с модулем: основные правила. Уравнения с двумя модулями

Радио модуль nRF24L01 (Nordic Radio Frequency 2.4) - предназначен для приёма и передачи данных по радиоканалу, на разрешённом ISM (Industrial, Scientific, Medical) диапазоне радиочастот.

В модуле nRF24L01 данный диапазон разбит на 128 каналов, с шагом 1 МГц: от 2,400 ГГц до 2,527 ГГц. Например, канал 55 означает, что приём и передача будет происходить на частоте 2,455 ГГц. Канал 99 будет передавать/принимать данные на частоте 2,499 ГГц, а канал 0 на частоте 2,400 ГГц.

Модуль позволяет выбрать любой из 128 каналов для приёма и (или) передачи данных. На каждом канале можно сформировать сеть из 6 передатчиков и 1 приёмника.

Характеристики

Частотный диапазон: ISM (2,400 ... 2,527 ГГц)
Количество поддерживаемых каналов: 128 (с шагом 1МГц)
Модуляция: GFSK
Расстояние между передатчиком и приёмником: до 100 м (в пределах прямой видимости)
Скорость передачи данных: 0.25, 1, 2 Мб/с (указывается в скетче), на скорости 2 Мб/с используется два канала.
Мощность передатчика: -18, -12, -6, 0 дБм (указывается в скетче)
Чувствительность приемника: -82 дБм
Коэффициент усиления антенны: 2 дБм
Интерфейс: SPI
Напряжение питания: 3,3 В (минимально допустимое 1,9 В)
Напряжение логической «1»: 3,3 ... 5 В
Потребляемый ток в режиме передачи данных: 11,3 мА (при максимальной мощности передачи 0 дБм)
Потребляемый ток в режиме приёма данных: 12,3 мА (при максимальной скорости передачи 2 Мб/с)
Потребляемый ток в режиме энергосбережения:
Рабочая температура: -40 ... 85 °C
Габариты: 29х16х14 мм (с учётом колодки выводов)
Вес: 2 г

Подключение

Для удобства подключения к Arduino воспользуйтесь , или .

Модуль подключается к шине SPI (выводы: ), вход модуля CSN (выбор режима) подключается к любому выводу , а выход прерывания IRQ не используется (при управлении ). Модуль поддерживает логические уровни 5 В на информационных выводах, но на выводы питания Vcc и GND подаётся напряжение 3,3 В постоянного тока. Если подключить модуль к напряжению питания 5 В, то он может выйти из строя!

Для подключения модуля nRF24L01 к , можно воспользоваться в котором имеется собственный стабилизатор напряжения 3,3 В, а так же подписанная однорядная колодка выводов, позволяющая подключить модуль к используя однорядный шлейф. подключается к напряжению питания 5 В постоянного тока.

Питание

Входное напряжение 3,3 В постоянного тока, подаётся на выводы Vcc и GND.
Модуль можно подключить через , на который подаётся напряжение питания 5 В постоянного тока.

Если подключить модуль, без адаптера, к напряжению питания 5 В, то он может

выйти из строя!

Подробнее о модуле

Модуль подключается к шине SPI.
Данные передаются по радиоканалу на расстоянии до 100 м в пределах прямой видимости (указано производителем)
Модулю программно задается роль передатчика или приемника, но в ходе выполнения программы, эту роль можно менять.
Имеется возможность задавать: мощность передачи (-18 дБм, -12 дБм, -6 дБм, 0 дБм), скорость передачи (250 кб/с, 1 Mб/с, 2 Мб/с), номер канала (0-127), идентификационные номера (5 байт) и т.д.
Модуль не требует подключения антенны, т.к. она встроена присутствует на ПП модуля.
Потребляемые модулем токи не превышают 13 мА (как при передаче, так и при приёме).
Достоверность принимаемых данных обеспечивается передачей циклически избыточного кода CRC
Реализован функционал контроля доставки данных. Приемник, после успешного получения пакета данных, отправляет передатчику пакет подтверждения приёма. А если передатчик не получил подтверждение от приёмника, то он повторно отправляет пакет данных (этот функционал настраивается в скетче).

Управление

Так как на одном канале могут одновременно «вещать» до 6 передатчиков, то каждому передатчику нужно задать уникальный идентификатор (pipe ID) - идентификатор трубы. А приемнику задаются все идентификаторы труб (pipe ID) тех передатчиков, данные которых требуется принимать. Таким образом у каждого передатчика только один pipe. А приемнику указываются от одного до шести идентификаторов передатчиков (pipe0 - pipe5). По этим идентификаторам приёмник «понимает» данные какого передатчика он получил. Вы сами придумываете номера идентификаторов труб, они состоят из 5 байт. Но есть несколько условий: идентификатор каждого передатчика на одном канале должен быть уникальным. приёмнику задаются идентификаторы передатчиков. идентификаторы передатчикам задаются так, что у приёмника pipe0 и pipe1 могут отличаться всеми байтами, а pipe2 - pipe5 должны отличаться от pipe1 только последним байтом.

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным . Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

График модуля и пример решения уравнения

Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

\[\left| x \right|=3\]

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

\[\left| 3 \right|=3\]

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left(x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ну и как такое решать? Напомню: $f\left(x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

\[\left\{ \begin{align}& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end{align} \right.\Rightarrow -2x-1=5\Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left(x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

\[\begin{align}& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac{14}{5}=-2,8. \\\end{align}\]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

\[\begin{align}& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac{6}{5}=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end{align}\]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end{align} \right.\]

Применительно к нашему уравнению получим:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end{align} \right.\]

Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

\[\begin{align}& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3}; \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end{align}\]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x={4}/{3}\;$ и $x=0$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\]

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И решается оно точно так же:

\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=\pm \left(x-{{x}^{3}} \right), \\& x-{{x}^{3}}\ge 0. \\\end{align} \right.\]

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}\]

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \\& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \\\end{align}\]

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

\[{{x}^{2}}\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{2}}=0 \\& 2x-3=0 \\\end{align} \right.\]

\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{3}{2}=1,5.\]

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-\left(x-{{x}^{3}} \right); \\& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \\& -3{{x}^{2}}+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end{align}\]

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

\[\left[ \begin{align}& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end{align} \right.\]

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3}\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

\[\begin{align}& x=0\Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} \lt 0; \\& x=\frac{2}{3}\Rightarrow x-{{x}^{3}}=\frac{2}{3}-\frac{8}{27}=\frac{10}{27}\ge 0; \\\end{align}\]

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{2}{3}.\]

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или даже более простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

\[\begin{align}& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end{align}\]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\]

Опять у нас уравнение вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

\[{{x}^{2}}-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\Rightarrow \left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \\& {{x}^{2}}-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \\\end{align}\]

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

\[{{x}^{2}}-2x+1={{\left(x-1 \right)}^{2}}\]

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

\[{{x}_{1}}=3;\quad {{x}_{2}}=1.\]

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание . Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end{align}\]

Одно из свойств модуля: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end{align}\]

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[\left[ \begin{align}& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end{align} \right.\]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Итак, уравнение:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\]

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

\[\begin{align}& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end{align}\]

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \left| x-{{x}^{3}} \right|=0, \\& \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0. \\\end{align} \right.\]

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

\[{{x}^{2}}+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-2 \\& x=1 \\\end{align} \right.\]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

\[\left| a \right|=\left\{ \begin{align}& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end{align} \right.\]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac{5}{3}$ в это условие и проверим:

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Объединение корней в уравнениях с модулем

Итого окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{5}{3} \right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Разбиение числовой оси на интервалы с помощью точек

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Модуль приемопередатчика 2,4 ГГц NRF24L01

Модуль NRF24L01 позволяет связать приборы радиоканалом передачи данных. С помощью NRF24L01 до семи приборов объединяются в общую радиосеть топологии звезда на частоте 2,4 ГГц. Один прибор в радиосети ведущий, остальные ведомые. При упрощенном рассмотрении модуль приемопередатчика 2,4 ГГц NRF24L01 является конвертером интерфейса SPI в радиосигнал. Берет на себя все функции преобразования проводного интерфейса SPI в радиосигнал, содержит приемник, передатчик и миниатюрную антенну. Специалисту не обязательно знать особенности кодирования модулем данных по радио, достаточно правильно организовать работу SPI и установить настройки каждого модуля работающего в радиомосте.
Основа модуля микросхема фирмы Nordic Semiconductor. На плате размещены компоненты необходимые для работы МС и вилка разъема. Установка выходной мощности модуля, каналов радиообмена и настройка протокола производятся через интерфейс SPI. Совместим с модулями nRF2401A, nRF2402, nRF24E1 и nRF24E2.
Применение устройства наиболее актуально для мобильных приборов. Например, можно создать беспроводную связь с пультом управления видеоигрой, джойстиком, компьютерными мышью и клавиатурой. Интересная область применения - управление движущимися системами малой робототехники: колесными и гусеничными платформами, квадрокоптерами. Благодаря NRF24L01 становится возможным решить технические проблемы простой телемеханики и сбора данных с датчиков. Это находит применение в охранно-пожарной сигнализации, в системах «умный дом», устройствах централизованного сбора информации и других.

Характеристики

Питание
Напряжение 1,9-3,6 В
Ток
13,5 мА когда скорость обмена 2 Мбод
11,3 мA если мощность 0 dBм
22 мА пиковое потребление при приеме

Частоты каналов 126
Скорости обмена: 256 Кбод, 1 Мбод, 2 Мбод
Модуляция GFSK
Чувствительность приемника -85 dBм при скорости 1 Мбод
Предельная температура воздуха
работа -40…85 °C
хранение -40…125 °C

Размеры.

Микросхема nRF24L01+

В микросхему входят: синтезатор частоты, усилитель мощности, генератор, демодулятор, модулятор и другие части, образующие многофункциональный трансивер. Связь происходит в диапазоне частот 2,4-2,4835 ГГц. Частота, на которой будут работать модули, определяется номером канала. Они имеют шаг 1 МГц. Каналу 0 соответствует частота 2,4 ГГц, каналу 76 частота 2,476 ГГц. При скорости 250 Кбод связь возможна на большей дистанции. В режиме приема данных RX потребление тока выше, чем в режиме передачи TX. Модуль работает в четырех режимах: Power Down - выключен, Standby - спящий режим, RX Mode - приемник, TX Mode - передатчик. Микросхема nRF24L01+ имеет функции энергосбережения.
Надежный обмен данными гарантирует собственный протокол обмена Enhanced ShockBurst™. Прием данных подтверждает обратная связь в виде ответа. Принимающий данные модуль приемопередатчика 2.4 ГГц NRF24L01 отвечает подтверждением приема. Если подтверждение приема не получено, то передача повторяется.
Приемопередатчик - трансивер, имеет трехуровневый FIFO буфер приема, разделенный на шесть каналов, и трехуровневый FIFO буфер передачи. Одна микросхема nRF24L01+ конфигурируется как центральный принимающий узел и 6 как сообщающие данные. Такие обозначения функций до некоторой степени условны. На самом деле при любой роли МС в обмене данными каждая из них работает поочередно как приемник и передатчик. Обмен данными в такой сети происходит на одном частотном канале. Благодаря большому количеству каналов рядом могут работать еще 7 микросхем и еще и еще…
В пакете передаваемых данных есть 9 бит идентификации после битов адреса. Первые 2 бита используются для индикации данных счетчика приема пакетов для контроля очередности приема. Остальные семь бит не используются и зарезервированы под будущие продукты. Для совместимости с микросхемами nRF2401, nRF24E1 и nRF905, nRF9E5 поле идентификации пакета может не использоваться. Количество повторных попыток передачи пакета задается программно. Если отправить пакет не удалось, то генерируется прерывание для контроллера, а в регистре статуса трансивера устанавливается бит MAX_RT. Для успешной передачи пакета вырабатывается сигнал прерывания (вывод TX_DS IRQ) и передающий FIFO буфер очищается.
Для настройки различных параметров и функций используются регистры микросхемы. Каждый регистр (кроме трех регистров полезной нагрузки) имеет 5-битный адрес, который маскируется в R_REGISTER и W_REGISTER инструкциями, соответственно чтение и запись.

Доступны следующие регистры.

CONFIG - настройка прерываний, контрольной суммы, питания и статуса Tx/Rx.
EN_AA - включение и отключение Enhanced ShockBurst ™ на отдельных каналах Rx.
EN_RXADDR - включение и отключение канала Rx.
SETUP_AW - длина адреса.
SETUP_RETR - настройка задержки повтора и количества попыток связаться, если не получено подтверждение приема.
RF_CH - установка радиочастотного канала.
RF_SETUP - настройка скорости передачи по эфиру, выходной мощности и коэффициента усиления.
STATUS - статус битов состояния прерывания, буфер Tx FIFO полный и количество каналов получивших пакеты.
OBSERVE_TX - количество потерянных и повторно переданных пакетов.
CD - обнаружение несущей частоты.
RX_ADDR_Pn - адрес для Rx канала n.
TX_ADDR - адрес назначения передаваемых пакетов.
RX_PW_Pn - величина постоянной нагрузки на Rx канал n.
FIFO_STATUS - статус автоповтора, буфер Tx FIFO полный / пустой, Rx FIFO полный / пустой.
ACK_PLD - полезная нагрузка отправки пакетов ответа, если ответы пакетов включены (записывается с указанием W_ACK_PAYLOAD).
TX_PLD - Тх FIFO (записывается с инструкциями W_TX_PAYLOAD и W_TX_PAYLOAD_NO_ACK).
RX_PLD - Rx FIFO (читается с инструкцией R_RX_PAYLOAD).
DYNPD - включить или отключить функцию динамического расчета полезной нагрузки на каналы Rx.
FEATURE - включение или отключение динамической полезной нагрузки, ACK полезной нагрузки, и селективные функции ACK.

Подключение

Кроме выводов питания контакты линий сигналов могут подключаться к контактам прибора питающегося напряжением 5 В. Такая совместимость обеспечена внутренними цепями микросхемы. При подключении к порту Р0 МК класса 51 нужен подтягивающий резистор 10 кОм, для других портов он не нужен. Входы устройства подключаемого к модулю должны потреблять ток не более 10 мА. Модуль соединяется с микроконтроллером класса AVR без цепей согласования уровней сигналов.

Расположение контактов соединителя.

Модуль имеет следующие контакты:

GND - общий провод,
VCC - питание 3,3 В,
CE - включение радиотракта микросхемы высоким уровнем,
CSN - Chip Select Not, активный низкий уровень. Если установлен низкий уровень, то модуль отвечает на SPI команды. Это более важный сигнал выбора МС чем сигнал CE,
SCK - тактирование шины SPI, до 10 МГц,
MOSI - используется для передачи данных от микроконтроллера к устройству,
MISO - для передачи данных из устройства в микроконтроллер,
IRQ - выход сигнала для запроса прерывания при отправке и получении пакета.

Вилка соединителя модуля устанавливается в разъем, изображенный на фото:

Радиомодуль легко подключить к Arduino UNO. Соедините проводами одноименные контакты.

Подключение является универсальным и подходит для всех плат Arduino UNO, DUE, MEGA, Леонардо, Yun и подобных. Сигналы SPI выведены на соединитель ICSP микроконтроллерного модуля Arduino. Контакт питания VCC соединяется с контактом стабилизатора Arduino напряжения 3,3 В. Общий провод подключается к контакту GND. Сигналы выбора CE и CSN подключаются к контактам, определенным в библиотеке RF24, например 7 и 8.

Особенности программирования

Для программ Arduino используется библиотека RF24 https://github.com/maniacbug/RF24/ Эта библиотека снабжена большим количеством примеров. При записи программы в Arduino модуль приемопередатчика 2,4 ГГц NRF24L01 нужно отключить от Arduino. Перед первой командой инициализации нужна пауза две секунды после подачи питания. Необходимо сделать публичной функцию RF24::flush_tx в библиотеке RF24 и очищать буфер передачи перед отправкой нового сообщения. По умолчанию модуль работает на передающем канале 76h.

Работа модуля в сети топологии звезда

По умолчанию модуль приемопередатчика 2,4 ГГц NRF24L01 сконфигурирован как ведущий и может получать данные по шести каналам. Каждый из шести ведомых модулей должен быть сконфигурирован соответствующим образом, при этом ведомым модулям присваиваются уникальные адреса.

Примечание

Перед первым включением следует смонтировать на модуле 2 конденсатора. Между выводами VCC и GND припать конденсатор в SMD корпусе (планарный) емкостью 0,1 мкФ со стороны пайки к монтажным площадкам на плате, затем к ним припаять электролитический конденсатор емкостью 100 мкФ на напряжение 10 В. Питать лучше не от Arduino, а от отдельного стабилизатора напряжения 3,3 В, способного обеспечить ток нагрузки 200 мА.

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х 1 =0, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

х 1 =2, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.

Для создания сети «Интернета вещей» путем добавления к устройствам внешнего беспроводного модуля теперь не обязательно использовать готовую импортную продукцию – российская компания СМК выпускает беспроводные ZigBee-радиомодули для диапазона 2,4 ГГц MBee v2.1 и MBee v3.0 , а также средства разработки и отладки для них.

В ходе развития беспроводных систем и появления широкого спектра миниатюрных вычислительных устройств с низким энергопотреблением вслед за понятием «умный дом» возник термин «Интернет вещей». Данный термин предполагает взаимодействие между различными устройствами, оснащенными беспроводными интерфейсами связи, а также удаленное управление ими, в том числе – и с использованием глобальной Cети. В отличие от «умного дома» «Интернет вещей» в принципе не предполагает применение какой-либо единой технологии или стандарта для построения среды передачи данных между устройствами – это именно подход к организации взаимодействия совершенно разнородных сетей. Межсетевое взаимодействие отдается на откуп специализированным устройствам – шлюзам, или устройствам, способным работать в нескольких частотных диапазонах.

Для решения различных типов задач и приложений подходят специализированные топологии сетей и протоколы организации взаимодействия между узлами сети. Так для набора датчиков, например, датчиков состояния окружающей среды, учета потребления ресурсов, из доступных и популярных технологий больше всего подходят технологии Bluetooth Low Energy (BLE) и ZigBee. При этом BLE актуален для небольших площадей, где возможно «видеть» одновременно все устройства или не требуется организации их согласованного взаимодействия. Для более сложных случаев предпочтительнее протокол ZigBee. Он позволяет осуществлять более гибкое взаимодействие узлов сети между собой, включая такую немаловажную вещь, как самоорганизация сети. Данные свойства ZigBee-сетей особенно важны в тех случаях, когда требуется длительная работа сети без внешнего воздействия (фактически – без участия человека).

Один из самых простых способов подключения устройств к беспроводной сети с целью обеспечения их взаимодействия – это подключение внешнего модуля с беспроводным интерфейсом.

В состав подобных модулей может входить:

контроллер и трансивер;
система-на-кристалле, содержащая в одном корпусе и трансивер, и управляющий контроллер.

В некоторых случаях модули оснащаются радиочастотным усилителем, что позволяет увеличить так называемый бюджет канала связи (фактически – зону уверенной связи или доступности узла беспроводной сети, оснащенного таким модулем).

Беспроводные модули от компании «Системы, модули и компоненты»

На рынке присутствует достаточно большое количество производителей беспроводных модулей. В их числе одна из немногих российских компаний – компания «Системы, модули и компоненты» (СМК) , предлагающая семейство беспроводных радиомодулей MBee для диапазонов частот 868 МГц и 2,4 ГГц .

Модули MBee поддерживают работу в сетях ZigBee PRO, RF4CE, 6LoWPAN и SimpliciTI. В беспроводных модулях MBee используются системы-на-кристалле производства компании Texas Instruments – (диапазон 868 МГц) и (диапазон 2,4 ГГц). Ряд моделей оснащен радиоусилителями или , в зависимости от частотного диапазона.

Применение систем-на-кристалле позволяет, в зависимости от прошивки, менять функциональность модулей – от простейших радиоудлинителей до многофункциональных программируемых узлов сети сбора данных.

Рассмотрим модули семейства MBee, предназначенные для работы в диапазоне 2,4 ГГц. Это модули MBee v2.1 и MBee v3.0 . В основе данных модулей лежит система-на-кристалле CC2530 с 8-битным процессорным ядром архитектуры х51, трансивером и набором периферийных устройств.

CC2530 поддерживает следующий спектр протоколов и стандартов: TiMAC, Z-Stack, RF4CE, SimpliciTI.

Модули MBee v2.1

MBee v2.1 (рисунок 1) это мощный радиомодуль с низким энергопотреблением, предназначенный для использования в составе систем беспроводной передачи данных и управления, функционирующих на базе протоколов ZigBee PRO и RF4CE в диапазоне 2,4 ГГц . Модули MBee v2.1 могут быть применены как в качестве контроллеров удаленных датчиков в сетях ZigBee PRO, так и в беспроводных миниатюрных пультах дистанционного управления или исполнительных устройствах, работающих по протоколу RF4CE.

Рис. 1. Внешний модуль MBee v2.1, модель
с SMA-разъемом

Модули разработаны на основе семейства микросхем CC2530 типа «система-на-кристалле» производства компании Texas Instruments. Они поддерживают полную реализацию протоколов ZigBee PRO в диапазоне 2,4 ГГц, обеспечивая минимальный уровень энергопотребления во всех режимах. Наличие специализированной микросхемы усилителя позволяет использовать модули в тех задачах, в которых необходимо добиться максимальной дальности связи (рисунок 2). Выбор конструктивного решения, а также форм-фактор изделия значительно расширяют возможные сферы использования модулей.

Модули MBee-2.4-2.1 могут быть применены в сетях стандарта ZigBee PRO как в качестве контроллеров удаленных датчиков, так и в качестве маршрутизаторов или координаторов. Во всех областях применения модули MBee-2.4-2.1 обеспечивают простоту и бюджетность решения, а также минимизируют время разработки конечной системы и выхода на рынок. На платах модулей размещены все необходимые компоненты радиочастотного тракта и пассивные компоненты цепей питания, что позволяет без дополнительных усилий добавлять данные модули в свое устройство.

В ряде случаев модули MBee могут служить прямой заменой модулям XBee производства компании Digi Inc. – повыводно и по размерам корпуса они совместимы.

Радиочастотные характеристики :

протокол нижнего уровня: IEEE 802.15.4;
протокол верхнего уровня: ZigBee PRO;
рабочий диапазон частот: 2,405…2,480 ГГц;
программируемая выходная мощность передатчика: до +21 дБм;
чувствительность приемника: до -103 дБм;
скорость передачи данных: до 250 кбит/с;
тип модуляции: 0-QPSK;
тип антенны: внешняя, разъем SMA (UFL – опционально);
дальность связи вне городской застройки в зоне прямой видимости: до 3000 м.

Электрические характеристики:

напряжение питания: 2,0…3,6 В;
потребляемый ток в режиме передачи: 130 мА;
потребляемый ток в режиме приема: 31 мА;
потребляемый ток в дежурном режиме: 1,6 мкА;
потребляемый ток в режиме сна: 0,4 мкА;
максимальное напряжение низкого уровня на цифровых входах: 0,5 В;
минимальное напряжение высокого уровня на цифровых входах: 2,5 В.

Модули MBee v3.0

Для бюджетных устройств, а также для случаев, когда размер является критичным или нет возможности использовать внешнюю антенну, идеально подходит модуль диапазона 2,4 ГГц MBee v3.0. Данные модули выполнены в виде небольшой низкопрофильной платы поверхностного монтажа с шагом выводов 2 мм .

В основе модулей MBee V3.0 также лежат системы-на-кристалле CC2530, но, в отличие от модулей версии 2.1, они не имеют внешнего РЧ-усилителя. В связи с этим выходная мощность модулей составляет +4,5 дБм, а чувствительность приемника -97 дБм. Это несколько ниже, чем у версии 2.1. Естественными плюсами отсутствия усилителя является меньшая, по сравнению с v2.1, потребляемая мощность.

Модули MBee 3.0 (рисунок 3) оснащены печатной меандровой инвертированной F-антенной (компактные размеры, полоса пропускания порядка 100 МГц, суммарная диаграмма направленности антенны близка к круговой) .

По расположению боковых выводов модули MBee 3.0 совместимы с модулями версии 2.1 (рисунок 4), однако есть отличия в размерах модулей, поэтому при реализации печатной платы требуется коррекция топологии .

Ассортимент доступных вариантов модулей представлен в таблице 1.

Таблица 1. Доступные модификации модулей MBee диапазона 2,4 ГГц

Наименование	Тип антенного разъема	Способ монтажа модуля
	SMA	Штыревые разъемы 2xPLS2-10, шаг 2 мм
	RP-SMA	Штыревые разъемы 2xPLS2-10, шаг 2 мм
	SMA
	RP-SMA
	SMA	Монтаж пайкой
	RP-SMA	Монтаж пайкой
	UFL
		Штыревые разъемы 2x PLS2-12, шаг 2 мм
		Монтаж пайкой
	Распайка внешнего антенного кабеля на модуль	Штыревые разъемы 2x PLS2-10, шаг 2 мм
		Штыревые разъемы 2x PLS2-12, шаг 2 мм
		Монтаж пайкой
	Встроенная антенна	Монтаж пайкой

Работа с модулями MBee

Компания «СМК» поставляет MBee-модули с предварительно прошитой программой-загрузчиком собственной разработки, позволяющей при помощи специализированной утилиты SysmcBootLoader и последовательного порта (UART, ТТЛ/КМОП с совместимыми уровнями сигналов) загружать и конфигурировать прошивки.

На текущий момент доступны следующие варианты прошивок:

беспроводной UART – MBee2.1-2.4-serialExtender ;
координатор сети ZigBee – Mbee-*- Coordinator ;
ZigBee-маршрутизатор – MBee-*-Router ;
конечное устройство ZigBee сети – MBee-*- EndDevice .

Прошивка SerialExtender позволяет использовать модули в «прозрачном» режиме в качестве беспроводного последовательного интерфейса (радиоудлинитель UART).

Прошивки Coordinator, Router, EndDevice (координатор, маршрутизатор и конечное устройство соответственно) предназначены для организации беспроводной сети стандарта ZigBee. В основе данной сети ZigBee лежит стек производства компании Texas Instruments – Z-Stack.

Средства разработки и отладки для модулей MBee. Плата SerialBridge 2.1

Фактически штатным средством для перепрограммирования и настройки модулей MBee является плата SerialBridge, входящая также в состав радиомодемов RFSerialBridge .

Данная плата позволяет:

обновлять прошивку модулей MBee (всей линейки продукции);
изменять настройки модулей MBee;
осуществлять подключение модулей к хост-системе по последовательному интерфейсу (доступные варианты представлены в таблице 2, внешний вид изображен на рисунке 5).

На плате расположены:

посадочное место для установки модуля;
преобразователи интерфейсов USB-UART, RS485-UART, RS-232-UART с соответствующими им разъемами;
конфигурационные разъемы, позволяющие настраивать интерфейсы – тип преобразования, используемые модемом или интерфейсами сигналы;
отладочный разъем;
стабилизаторы питания и разъемы для подключения питания.

Таблица 2. Доступные преобразования интерфейсов, осуществляемые с помощью платы SerialBridge 2.1

Интерфейс	USB	RS-232	RS-485
USB	–	+	+
RS-232	+	–	+
RS-485	+	+	–

При помощи конфигурационных разъемов путем установки на них перемычек можно настроить необходимые преобразования интерфейсов, что позволяет подключать беспроводные модули к различному промышленному, коммуникационному, научному оборудованию и к системам учета потребления ресурсов.

Для настройки модулей плата SerialBridge подключается к персональному компьютеру по USB-интерфейсу, который определяется операционной системой как последовательный или COM-порт.

Процесс настройки модулей достаточно прост. Необходимо:

установить модуль на плате Serial Bridge;
подать питание на плату и подключить ее к ПК посредством COM- или USB-интерфейса (в последнем случае внешнее питание не требуется);
нажав и удерживая кнопку «PING», кратковременно нажать кнопку «RESET», после чего отпустить «PING».

Если все сделано правильно, модуль перейдет в режим обновления прошивки/конфигурирования, что отобразится с помощью периодического мигания белого светодиода на плате (период примерно 1,5…2 с). После этого нужно запустить программу SysMC Serial BootLoader, выбрать порт, к которому подключен модуль, нажать кнопку «опросить» в меню программы. При этом на правой половине окна программы будут отображены параметры модуля: имя, версия и название прошивки, роль модуля – master/slave (рисунок 6).

Для прошивок SerialExtender к версиям модулей MBee-2.4-2.1 и MBee-2.4-3.0 доступна только настройка параметров последовательного порта – скорость и управление потоком.

Модули с прошивкой SerialExtender можно применять для создания беспроводного канала связи между удаленными узлами или между контроллером и датчиком. Также данный вариант прошивки модулей может быть с успехом использован для тестирования возможности связи между узлами сети датчиков, например, при планировании размещения беспроводных приемопередатчиков систем автоматизации здания или учета расхода ресурсов.

Модули MBee-2.4-2.1 показали следующие результаты:

полное покрытие сигналом площади городской квартиры (100…150 м2);
уверенный прием-передача сигнала в пределах этажа кирпичного здания (по горизонтальному направлению – порядка 15…20 м, по вертикали через перекрытие – ± этаж);
в условиях леса – 180…300 м, в зависимости от густоты деревьев и рельефа;
на открытом пространстве – 500…700 м при использовании штыревых антенн и произвольном размещении модулей.

Тестирование внутри помещений проводилось в условиях зашумленного диапазона при большом количестве работающих Wi-Fi-сетей.

Применение направленных антенн и размещение модулей на высоте 2…3 м над поверхностью земли позволяет получать дальность связи до 3…4 км в зависимости от погодных условий и рельефа.

Отладочный набор MBeeKit Start

Еще одним отладочным средством для модулей MBee, является набор MBeeKit Start . Он предназначен для знакомства с технологией ZigBee и изучения возможностей беспроводных модулей на примере типовой сети беспроводного сбора данных (рисунок 7).

В набор входят :

три модуля MBee-2.4-2.1;
три модуля MBee-2.4-3.0;
две платы USB Board (UB-MBee) c USB-портом;
четыре платы Battery Board (BB-MBee) с батарейным питанием.

Отладочный комплект реализует базовые функции распределенной сети сбора данных и управления.

Модули MBee-2.4-2.1, входящие в набор MBeeKit Start, имеют прошивки «координатор», «маршрутизатор» и «конечное устройство», модули версии 3.0 поставляются с прошивкой «конечное устройство».

При развертывании сети на базе узлов набора MBeeKit Start возможны два варианта взаимодействия узлов – с привязкой дочерних узлов к маршрутизатору и с привязкой их к координатору. В первом случае сначала включается координатор, а затем маршрутизатор и конечные узлы, во втором – сначала включается маршрутизатор, потом конечные устройства, потом координатор.

Координатор отвечает за первоначальный запуск сети. После первого включения координатор, в зависимости от внешней электромагнитной обстановки, выбирает частотный канал по критерию наименьшего уровня помех, а также определяет другие сетевые параметры, необходимые для его корректной работы.

Допускается подключение до 20 дочерних устройств, до шести из которых могут быть маршрутизаторами. Координатор не имеет спящего режима, так как приемник должен быть все время включен для обеспечения функций маршрутизации. В отладочном комплекте MBeeKit Start на координатор возложена также функция агрегатора .

Маршрутизатор отвечает за прокладку маршрутов между взаимодействующими узлами. Применяется для расширения емкости сети и для увеличения зоны покрытия сети. Допускает подключение до 20 дочерних устройств, из которых до шести могут быть маршрутизаторами. Не имеет спящего режима. Также может выполнять все функции конечного устройства.

Конечное устройство не имеет маршрутизирующих свойств. Как правило, является устройством с батарейным питанием. Большую часть времени находится в спящем режиме для обеспечения максимального времени автономной работы. Основное предназначение – сбор и отправка данных с датчиков разных типов на агрегатор (концентратор). Может также осуществлять управление различными устройствами по командам с других узлов.

Модули с прошивкой «координатор» и «маршрутизатор» устанавливаются на платы UB-MBee, модули с прошивкой «конечное устройство» должны быть установлены на платы BB-MBee. На каждом типе плат расположены имитаторы сигналов цифровых и аналоговых датчиков.

На плате UB-MBee расположены:

конвертер USB-UART;
две пользовательские кнопки;
кнопка «RESET»;
джамперы для выбора режимов работы отладочной платы, проведения измерений различных параметров, а также разъем для подключения пользовательской периферии.

Посредством USB-разъема платы UB-MBee могут быть подключены к хост-компьютеру, с которого можно будет наблюдать за работой сети, а также осуществлять управление модулями.

Battery Board (BB-MBee) содержит следующие устройства:

два пользовательских светодиода;
две пользовательские кнопки;
два пользовательских потенциометра;
кнопку «RESET»;
повышающий/понижающий импульсный преобразователь, предназначенный для питания модуля MBee;
повышающий/понижающий импульсный преобразователь, предназначенный для питания периферийных устройств;
джамперы для выбора режимов работы платы, проведения измерений различных параметров, а также для подключения пользовательской периферии;
батарейный отсек для одного элемента питания типоразмера AA.

Наличие перемычек на плате BB-MBee позволяет разработчику оценивать потребление энергии автономным узлом во всех режимах работы, а также проводить сравнение потребления для модулей разных серий:

JP1 – для подключения амперметра при измерении тока потребления периферийных устройств (датчиков);
JP2 – для выбора режима питания внешних устройств: положение 1…2 – питание на внешние датчики подается всегда, положение 2…3 – питание внешних устройств выключено всегда, перемычка отсутствует – питанием внешних устройств управляет модуль;
JP3 – выбор напряжения периферии: положение 1…2 – напряжение 3,3 В, 2…3 – напряжение 5 В.
JP4 – для подключения амперметра при измерении суммарного тока потребления от элемента питания;
JP5 – для подключения амперметра при измерении потребления модуля MBee.

На обеих отладочных платах предусмотрены макетные поля с шагом сетки 2,5 и 2 мм. На них могут быть смонтированы пользовательские узлы.

Осциллограммы токов потребления самих модулей и суммарный ток потребления платы (модуль + повышающий преобразователь) представлены на рисунках 8…11.

Рис. 11. Осциллограммы суммарного тока потребления платы «модуль + преобразователь
напряжения»

В режиме установленного соединения ток потребления модулей составляет порядка 2…3 мкА. Таким образом, для прошивки «конечное устройство» средний ток потребления для модулей версии 2.1 составляет примерно 29 мкА.

Как видно, в режиме конечного устройства модули MBee обладают достаточно малым потреблением, даже применение импульсного повышающего преобразователя оставляет средний ток потребления в допустимых пределах.

Заключение

По своим конструктивным и техническим характеристиками модули MBee не уступают аналогам зарубежного производства и могут с успехом применяться в устройствах автоматики и автоматизации, сетях сбора данных, учета потребления ресурсов, охранно-пожарных системах.

Используя отладочный набор MBeeKit Start, разработчик сможет познакомиться с такими особенностями ZigBee, как:

архитектура и состав сети;
назначение узлов и их особенности;
самоорганизация с самовосстановление сети.

Данный набор также позволяет изучить возможности ZigBee-модулей производства компании «СМК» – MBee 2 и 3 версий:

передачу данных с аналоговых датчиков;
опрос цифровых датчиков;
управление цифровыми выходами;
оценку дальности связи между модулями;
потребление тока модулями в различных режимах.

Специалисты компании «СМК» ведут постоянную работу по созданию новых типов программного обеспечения для радиомодулей своего производства. На данный момент для всех вариантов беспроводных модулей доступны прошивки и для организации простого беспроводного соединения, и для развертывания сети сбора данных.

Литература

http://sysmc.ru.
http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems.
http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/modules/SYSMC_MBee_2.1.
http://sysmc.ru/documentation/hw_mb21.pdf.
http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/modules/SYSMC_MBee_v3.0.
http://sysmc.ru/documentation/hw_mb3.pdf.
http://www.ti.com/lit/an/swra117d/swra117d.pdf.
http://sysmc.ru/documentation/MBee_schematic.lib.
http://sysmc.ru/documentation/bootloader/SysMC_BootLoader_207.zip.
http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/modems/RFSerialBridge.
http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/development_kit/MBeeKit_start.
http://sysmc.ru/documentation/hw_mbks.pdf.

Возможно, будет полезно почитать: